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2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案理北师大版.doc


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2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案理北师大版.doc
文档介绍:
§4.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识.题型多样,中档难度.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
===2R
a2=b2+c2-os A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A,
b=2Rsin B,
c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
asin B=bsin A,
bsin C=csin B,
asin C=csin A
(4)cos A=;
cos B=;
cos C=
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示边a上的高);
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
知识拓展
1.三角形内角和定理
在△ABC中,A+B+C=π;
变形:=-.
2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;(4)cos =sin .
3.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos os B;
b=acos os A;
c=bcos A+acos B.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √)
(3)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( × )
(4)在△ABC中,=.( √)
(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √)
题组二教材改编
2.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为.
答案等腰三角形或直角三角形
解析由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,
即A=B或A+B=,
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为.
答案 2
解析∵=,∴sin B=1,∴B=90°,
∴AB=2,∴S△ABC=×2×2=2.
题组三易错自纠
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案 A
解析由已知得sin C<sin Bcos A,
∴sin(A+B)<sin Bcos A,
∴sin A·cos B+cos A·sin B<sin B·cos A,
又sin A>0,∴cos B<0,∴B为钝角,
故△ABC为钝角三角形.
5.(2018·桂林质检)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.有解但解的个数不确定
答案 C
解析由正弦定理得=,
∴sin B===>1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
6.(2018·包头模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= .
答案
解析由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a,
所以a=b,c=b,
所以cos C===-.
因为C∈(0,π),所以C=.
题型一利用正、余弦定理解三角形
1.(2016·山东)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-os A,
∵b=c,∴a2=2b2(1-cos A),又∵a2=2b2(1-sin A),
∴cos A=sin A,∴tan A=1,
∵A∈(0,π),∴ 内容来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.
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